Ciekawe zadania na podzielność liczb coldme: 1. Dane są trzy różne cyfry. Wykaż, że suma wszystkich liczb, które można zapisać za pomocą tych cyfr jest podzielna przez 6. 2. Wykazać, że kolejne cyfry liczby trzycyfrowej tworzą ciąg rosnący, to liczba ta nie dzieli się przez 11. 3. Dane są liczby naturalne x i y, takie, że liczba 6x+11y jest podzielna przez 31. Udowodnij, że wówczas liczba x+7y jest również podzielna przez 31. 4. Udowodnij, że dla kolejnej liczby naturalnej dodatniej n liczba n⁴+2n³+2n²+2n+1 nie jest kwadratem liczby naturalnej. 12. Znajdź wszystkie liczby n, dla których liczba n²+8n−85 jest podzielna przez 101. 13. Wyznacz wszystkie naturalne liczby n, dla których liczba 4ⁿ+65 jest kwadratem liczby naturalnej. Jestem w 1 liceum więc proszę o jak 'najbardziej' normalny sposób rozwiązań ; )

Vax: 1) Liczby utworzone przez dane cyfry muszą mieć różne cyfry, czy nie? 2) Mamy liczbę xyz (to jest zapis liczby, nie iloczyn) gdzie x<y<z, z definicji podzielności przez 11 wynikałoby, że musiałoby być 11 | z−y+x, oczywiście z−y+x = z + (x−y) < z < 10 < 11, więc może być jedynie z−y+x=0, ale to nie zajdzie, bo x ≥ 0 i z>y cnd. 3) x+7y = 31(x+2y)−5(6x+11y), co jako suma 2 liczb podzielnych przez 31 dzieli się przez 31 qed. 4) (n²+n)² < n⁴+2n³+2n²+2n+1 < (n²+n+1)² 12) n²+8n−85 = n²+8n+16−101 = (n+4)²−101, więc musi zajść 101 | (n+4)² ⇔ 101 | n+4 ⇔ n = 101k+97, gdzie k jest pewną liczbą całkowitą. 13) 4ⁿ+65=k² ⇔ (2ⁿ)² + 65 = k² ⇔ 65 = (k−2ⁿ)(k+2ⁿ), czyli: {k−2ⁿ = 1 {k+2ⁿ = 65 lub {k−2ⁿ = 5 {k+2ⁿ = 13 Skąd dostajemy n=5 lub n=2

coldme: hmm... nie jestem pewna czy muszą być różna cyfry, ale myślę, że tak ; ) A w sumie z trzech cyfr można utworzyć 6 liczb, tylko nie wiem jak napisać to, żeby to miało jakiś związek z zadaniem ; D

coldme: bo jakby można było wziąć takie same, to np. 111 nie jest podzielne przez 6, a trzeba wykazać, że jest podzielne.